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Todos, en algún momento de nuestras vidas, hemos escuchado hablar sobre el Teorema de Pitágoras: “La suma del cuadrado de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.” Además de utilizar palabras casi exclusivas de su planteamiento (cateto e hipotenusa), la veracidad de su enunciado es un hecho que sobresale a pesar de que se descubrió, aproximadamente, en el año 500 antes de Cristo.¹ Más aún, la afirmación seguirá siendo cierta en el futuro cercano o remoto. Es decir, se trata de un resultado imperecedero, característica que comparten todos los teoremas matemáticos. Pero ¿qué es un teorema? En la presente columna hablamos qué es un teorema y presentamos algunos otros problemas que, aunque no lo parezcan son cercanos por sus aplicaciones.

En matemáticas, un teorema es una proposición cuya verdad puede ser demostrada por medio de operaciones matemáticas o por el uso de argumentos lógicos. Entonces, la validez de un resultado matemático es independiente de su experimentación, razón por la cual los resultados matemáticos no se desechan. Esto contrasta con la Física y la Química donde se han descartado teorías como el modelo geocéntrico y el flogisto, respectivamente.²

Se le atribuye a Euclides la formalización del quehacer matemático al ser el primero en establecer una base axiomática, en su obra Los Elementos, con la que demostró los resultados geométricos y algebraicos que se conocían en la Grecia Clásica. La base axiomática de Euclides se conforma por cinco postulados que son verdades “independientes” cuya veracidad es evidente. Sin embargo, siglos después, la comunidad matemática dudó de la independencia del 5to Postulado ya que su enunciación, “por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una recta paralela a la recta,” no es tan sencilla como la de los otros postulados.³ La independencia, o no, del 5to postulado llevó al desarrollo de las geometrías no euclidianas con las que podemos estudiar espacios curvos, como ocurre en el diseño de rutas aéreas mediante geodésicas. Entonces, podemos decir que el análisis del 5to Postulado representó un parteaguas en las matemáticas. Sin embargo, no ha sido el único.

Aunque los griegos ya utilizaban cantidades muy pequeñas, infinitesimales, para obtener el área de una superficie, la base axiomática de Euclides no fue capaz de formalizar este tipo de análisis. Esto se logró en los siglos XVII y XVIII cuando Newton y Leibnitz introducen el Cálculo Diferencial e Integral como una rama de las matemáticas cuyo objeto de estudio, derivadas e integrales, es diferente al de la Geometría y el Álgebra. Es importante mencionar que, aunque las derivadas y las integrales son conceptos distintos, el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) une ambos conceptos al indicar que la integración y la derivación son operaciones inversas. El resultado anterior se puede generalizar a la integral de una función multivariada sobre una trayectoria, como lo indica el Teorema del Gradiente. Así, el TFC señala que el cálculo de áreas está estrechamente relacionado con el cálculo de velocidades, hecho que ha ayudado al desarrollo tecnológico, tanto en el pasado como el presente.

Cabe resaltar que las implicaciones del Cálculo Diferencial e Integral no se limitan al análisis estático; también abre las puertas al estudio de problemas dinámicos. Y como el tiempo es un concepto cuyo significado aún se discute, es fundamental identificar las circunstancias bajo las que un sistema es estable. En este sentido, el Teorema de Estabilidad de Lyapunov nos ayuda a conocer como se comportan las soluciones de un sistema dinámico alrededor de un punto de equilibrio ya que no todos los equilibrios atraen las trayectorias solución. 4 Es decir, podemos “estudiar” el caos. Y aunque pareciera que nos hemos alejado de conceptos tan cercanos como las ecuaciones algebraicas, los Teoremas de Marina Ratner nos ayudan a vincular el comportamiento dinámico con restricciones algebraicas concretas.⁵ Es decir, podemos plantear y analizar sistemas dinámicos por medio de matrices.

Pero, si el sistema es caótico, ¿podemos encontrar soluciones? En este caso, el Teorema de Rouché-Frobenius es de suma utilidad pues indica que un sistema tiene solución cuando el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz extendida. En este sentido uno se pregunta si es posible encontrar una fórmula que proporcione la solución no sólo de ecuaciones líneas sino de ecuaciones algebraicas de cualquier orden, como la fórmula general de la ecuación cuadrática. La respuesta es no, y se la debemos a la teoría que Evariste Galois inventó antes de morir a los 21 años.⁶

Y, ¿qué pasa con el análisis de un problema cuando hay azar? En matemáticas, el azar se presenta cuando tenemos un espacio de posibles soluciones, cada una de las cuales puede ocurrir con cierta probabilidad. Para simplificar el análisis, el Teorema del Límite Central nos indica que cualquier fenómeno aleatorio puede estudiarse por medio de la distribución normal. ⁷ Entonces, el teorema anterior es fundamental para el análisis estadístico pues se puede hacer inferencia sobre el comportamiento de una población sólo con una muestra. Por ejemplo, podemos recolectar información sobre las dificultades que un grupo de personas tiene para peinarse. En este grupo, muy probablemente, todos coincidan en que hay una parte de su cabello que les cuesta más trabajo peinar que otro; haciendo uso del teorema del límite central podemos inferir que la mayoría de la población tiene el mismo problema.

El hecho de que no podamos peinar correctamente todos nuestros cabellos se debe no solamente a que el fenómeno se repita en toda la población. La topología diferencial proporciona una explicación más completa por medio del Teorema de la Bola Peluda.⁸ Este resultado nos indica que al asociar a cada punto de una esfera un vector tangente, un cabello a peinar, siempre vamos a encontrar un punto de discontinuidad, es decir, un cabello que no podamos peinar. Las implicaciones del teorema van más allá de la apariencia de las personas; nos indica que en el planeta hay un lugar sin viento, por ejemplo.

Parafraseando al abogado francés Pierre de Fermat, quien puso de cabeza a la comunidad matemática durante 358 años, el espacio de esta columna es demasiado pequeño para hablar de todos los teoremas cercanos a nuestras actividades. Por hoy nos hemos limitado a presentar y enlazar los teoremas favoritos del Área de Matemáticas con la intención de mostrar que el Teorema de Pitágoras no es el único cercano a nuestras actividades cotidianas. Y, ¿cuál es tu teorema favorito?