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En la última semana, mucho se ha hablado de la actualización del semáforo epidemiológico en nuestro país, y también hemos sido testigos del rebrote que están viviendo los países europeos. Por lo anterior, esta semana hablaremos un poco sobre las herramientas que se utilizan para analizar y tomar decisiones en una situación como la que se vive con el COVID-19.

Las epidemias son fenómenos recurrentes en la historia de la humanidad. La ciencia, a través de la virología y la epidemiología, en conjunto con otras disciplinas (como la ciencia de datos, la teoría de redes y la genómica computacional), proporciona elementos clave para encontrar una salida a las diferentes crisis generadas por la pandemia actual.^1,2,3 Así, la experiencia con epidemias anteriores y los modelos matemáticos proporcionan estrategias para atenuar la propagación de contagios.

La investigación matemática sobre enfermedades infecciosas se realiza desde principios del siglo XVIII.⁴ Posteriormente, en 1927, el médico Anderson Gray McKendrick y el bioquímico William Ogilvy Kermack proponen el modelo SIR para analizar la dinámica poblacional en una pandemia. Aunque sencillo, el modelo SIR estableció conceptos básicos, como la existencia de un pico en la curva de contagios o la inmunidad de grupo, que siguen siendo fundamentales para el establecimiento y análisis de nuevos modelos.⁵

El modelo SIR compartimenta a la población en grupos homogéneos. En el primer grupo se encuentran las personas que no tienen algún tipo de inmunidad y son vulnerables a contraer la infección; es decir, es el grupo de personas susceptibles S. En el segundo grupo se hallan los individuos infectados I (‘ínfectious’) y en el tercer grupo los recuperados R (‘recovered’)⁵. Cuando un individuo vulnerable se contagia pasa al grupo I y cuando se repone se integra al grupo R. En cualquier instante de tiempo t, la población N será la suma de los tres grupos anteriores. El modelo SIR describe cómo cambia la cantidad de personas ubicadas en cada uno de los tres grupos a través de un conjunto de ecuaciones diferenciales.⁵

Entre las críticas al modelo SIR, destacan el no considerar la movilidad de los individuos y la densidad poblacional. Además, la velocidad de propagación de una enfermedad infecciosa es multifactorial pues en la propagación de la enfermedad intervienen factores biológicos (duración del periodo infeccioso, rapidez de mutación, probabilidad del agente infeccioso), sociales y demográficos (tasa de contactos de individuos infectados, relación entre susceptibilidad y edad). Sin embargo, los modelos matemáticos usados en epidemiología pueden resumir los factores anteriores por medio del ‘número básico de reproducción,’ denotado como R₀. Dicho número representa el valor promedio de los nuevos contagios que genera una persona infectada⁶. Enfermedades como el Sarampión presentan un R₀ de 12-18, la Viruela de 5-7, Paperas de 4-7 y la ‘Gripe Española’ de 2-3.⁷

En el caso del COVID-19, el R₀ varía de país a país. Un estudio del Imperial College de Londres, realizado con datos de 11 países europeos, mostró que el valor de R₀ se encontraba en un rango de 2-5 al inicio de la epidemia, es decir, antes de las medidas de control⁸. Para México, en julio de 2020 se presentó un reporte, sobre las 32 entidades federativas, ⁹ en el que R₀ presenta valores mayores que 1 y menores que 2.4.

Es importante señalar que, cuando R₀ es mayor que 1, el contagio de la enfermedad presenta un crecimiento exponencial, que puede colapsar el sistema de salud y dañar a la población.⁷ Para ilustrar el efecto de R₀, considere como ejemplo la propagación de un rumor; imagine que usted decide contarle un rumor a uno de sus amigos y su amigo toma la misma decisión, contarle el rumor a otra persona, y ésta última realiza la misma acción. Sí la acción de contarle a una sola persona se repite cada día, el rumor no tendrá una gran difusión pues, pasados 15 días, sólo 15 personas conocerán el mensaje. Ahora, suponga que decide transmitir el mensaje a 2 personas en vez de una y que estás ultimas 2 deciden hacer lo mismo. Considerando que el proceso anterior se repite día a día, el primer día dos personas conocerán el mensaje, el segundo día cuatro, el tercer día ocho y así sucesivamente. Entonces, 32,768 (2¹⁵) personas conocerán el mensaje en el día 15. Es claro que en el primer caso la tasa de variación se mantiene constante, una persona por día conoce el mensaje, mientras que en el segundo caso el valor de la tasa de variación se multiplica cada vez. El primer escenario puede modelarse a través de una función lineal en donde R₀ es igual a uno y el segundo caso por una función exponencial en donde R₀ toma un valor igual a 2.

El número básico de reproducción es una pieza clave dentro de la epidemiología ya que por medio de él podemos conocer el avance (R₀ mayor que 1) o la extinción (R₀ menor que 1) de un brote epidémico.⁷ Si se tiene un R0 que genere un crecimiento exponencial de la infección, éste crecimiento podría llegar a ser lineal si R₀ se reduce a uno.

La vacunación reduce el número de reproducción de la enfermedad a valores menores que uno ya que las vacunas previenen el contagio. La cantidad de la población que debe vacunarse para reducir R₀ a uno se denomina ‘umbral de inmunidad colectiva’ y como es de esperarse, depende del número básico de reproducción.⁷ Si se alcanza el umbral de inmunidad colectiva se consigue la inmunidad de grupo, esto no implica que no haya más contagios, pero si impide el crecimiento exponencial. En el caso del Sarampión, el umbral de inmunidad colectiva es del 92% aproximadamente, mientras que para la viruela es del 80%.⁷

Entonces, en la actual pandemia de COVID-19, nos preguntamos cómo, cuándo y a qué costo se puede lograr la inmunidad colectiva. Para un R₀ igual a 3, según lo estimado para Francia, se espera que el umbral de inmunidad colectiva para el SARS-CoV-2 requiera un 67% de inmunidad de la población.¹⁰ Sin embargo, aún resulta complicado estimar un número preciso para el umbral de inmunidad colectiva para el SARS-CoV-2 ya que R₀ varía sin un patrón geográfico claro. Lo resalta la factibilidad de estrategias como el distanciamiento social y el confinamiento para reducir el número básico de reproducción de la enfermedad.¹¹

Por otro lado, herramientas matemáticas como la teoría de redes están jugando un papel importante al ofrecer información acerca de la propagación de epidemias, esto se logra al analizar redes de contacto que comparten características similares. Asimismo, las redes permiten predecir la probabilidad de que un brote se convierta en una epidemia o conocer la efectividad de las medidas de contención.^1,2 Al mismo tiempo, la genómica computacional está utilizando técnicas de la teoría de la información para estudiar el origen de nuevas cepas, y entender el surgimiento de nuevas pandemias, su propagación y sus patrones evolutivos.³

Los ejemplos expuestos anteriormente permiten observar que los modelos matemáticos son herramientas trascendentales para responder con rigor a preguntas fundamentales y guiar las estrategias que pretenden hacerle frente a un problema como una pandemia. El Área de Matemáticas de la UPAEP busca por medio de la Olimpiada de Matemáticas motivar a los estudiantes de distintos niveles educativos a acercarse a las herramientas anteriormente mencionadas y desarrollar sus habilidades en la resolución de problemas.